О новых подходах к математическому обеспечению проводки наклонно-направленных и горизонтальных скважин

О новых подходах к математическому обеспечению проводки наклонно-направленных и горизонтальных скважин
Новость

20 июня 2005, 14:44
Илья Барский, к.ф.-м.н., НПО «Буровая техника-ВНИИБТ» Илья Барский, к.ф.-м.н., НПО «Буровая техника-ВНИИБТ» До настоящего времени нет информации о том, что кто-либо в мире определял такие геометрические характеристики ствола скважины, как кривизна и кручение на основе экспериментальных данных. Цель подобных исследований, проведенных в НПО «Буровая техника-ВНИИБТ» — кардинальное повышение эффективности управления буровых процессом при проводке направленных скважин.

Илья Барский, к.ф.-м.н., НПО «Буровая техника-ВНИИБТ»

Илья Барский, к.ф.-м.н., НПО «Буровая техника-ВНИИБТ»

До настоящего времени нет информации о том, что кто-либо в мире определял такие геометрические характеристики ствола скважины, как кривизна и кручение на основе экспериментальных данных. Цель подобных исследований, проведенных в НПО «Буровая техника-ВНИИБТ» — кардинальное повышение эффективности управления буровых процессом при проводке направленных скважин.

Данная работа содержит принципиально новые математические подходы и эффективные модели, необходимые при проектировании и управлении бурением скважин. Созданная на основе новой теории методика расчетов позволяет, используя в качестве входных параметров экспериментальные (промысловые) данные геометрического характера (набор углов и измеренные глубины), получать на выходе рекомендации по проектируемому профилю скважины. Особая значимость разработки для теории и практики бурения заключается в том, что предлагаемый математический подход гарантирует численную устойчивость расчетов.

Разработка позволяет решить такие фундаментальные задачи, как получение ствола правильной формы и обеспечение попадания в круг допуска для вертикальных, наклонных и горизонтальных скважин, подавление поперечных, в т.ч. флаттерных колебаний колонны, КНБК и долота, уменьшение износа бурильной колонны и замковых соединений, исключение самопроизвольных искривлений ствола бурящейся скважины и, как следствие, других тяжелых осложнений в процессе бурения.

Геометрические аспекты проектирования профиля скважины

Проведенный анализ научно-технической, патентно-лицензионной отечественной и зарубежной литературы выявил основные недостатки существующих способов проектирования скважин на нефть и газ, связанные с упрощением такой сложной геометрической структуры, как объемный ствол бурящейся скважины. Большинство проектируемых стволов рассматриваются фактически не как объемные полости, а как одномерные линии, и даже в этом подходе свойства стволов как математических кривых ограничиваются весьма малым диапазоном используемых математических (преимущественно геометрических) элементарных функций и элементарных понятий. Проектируемые траектории скважин представляют собой, как правило, различные комбинации отрезков прямых линий гладко сопрягаемых с дугами окружностей различных диаметров [2]. Следствием этого является кусочно-плоский характер проектируемого профиля. Большое количество запатентованных профилей скважин отличаются друг от друга только последовательностью чередования линейных и круговых участков. Существенно, что сопряжение отрезков и окружностей осуществляется непрерывно и гладко в смысле наличия общей касательной в точке сопряжения.

В процессе вышеупомянутого анализа было обнаружено общее для всех этих проектов противоречие. Источник его в том, что современное проектирование при расчете сопротивлений движению бурильной колонны предполагает полное совпадение скважины с находящейся в ней колонной труб.

Для того чтобы вышесказанное противоречие выявить с очевидностью, построим график кривизны (k) проектируемого профиля, причем k будем вычислять так, как это принято в дифференциальной геометрии (рис. 1-а). График k будет представлять собой кусочно-постоянную кривую, у которой нулевой участок соответствует прямолинейному отрезку профиля, а участки постоянства k — дугам окружностей, кривизна которых равна величине, обратной радиусу соответствующей окружности. Таким образом, в точках перехода от одного радиуса к другому или к прямолинейному отрезку график k терпит разрыв.

Наличие названного разрыва противоречит основному уравнению изгиба колонны как упругого стержня, которое в точках разрыва теряет смысл:

EJ/R=M. (1)

Многочисленные испытания профилей, пробуренных близко к названным кусочно-круговым профилям, показывают, что износ колонны и различные аварийные ситуации происходят в колонне как раз в местах расположения скачков кривизны проектируемого (и реального) профиля.

В работе [2] утверждается, что, «как показывают результаты исследований, для проектирования любой сколь угодно сложной траектории необходимо и достаточно скомбинировать участки прямых и дуг окружностей. Комбинация таких участков определяется как шаблон траектории». Указанными авторами разработаны модели типовых шаблонов, куда входят профили с одним углом поворота, а также общепринятые S- и J-образные профили, составленные из шаблонов.

Первые попытки улучшить геометрические характеристики проектируемых профилей относятся к середине XX века. Так, М.П. Гулизаде [3] частично заменяет окружности степенными параболами. Однако «сшивание» двух кривых производится с первым порядком гладкости (общая касательная). Попыток «сшить» кривые по кривизне не предпринималось.

В зарубежных работах с целью уменьшения сил сопротивления предлагалось выбрать профиль ствола в соответствии с уравнением цепной линии [4], на которой нет скачков кривизны (кроме крайних точек, конечно). Идея изобретения состоит в том, что в пределе уравнение изгиба длинного упругого стержня асимптотически стремится к уравнению цепной линии. При этом не учитывается, что в точках взаимодействия колонны со стенками реального профиля упругими свойствами стержня нельзя пренебрегать, следовательно, малейшие ошибки в проведении реального профиля по проектируемому противоречат гипотезе цепной линии, в соответствии с которой выбирался профиль.

Более привлекательным представляется предложение Дао и Ширин-заде [5] проводить криволинейный профиль по кривой оптимального быстродействия по времени, известной под названием «брахистохроны». При этом скачков кривизны на проектированном профиле нет, как и в [4], а упругие свойства колонны не рассматриваются вообще. В отличие от проектов, использующих цепную линию, экспериментальная проверка теории Дао, Ширинзаде дала положительные результаты, и был получен экономический эффект.

По нашему мнению, профиль скважины должен проектироваться таким способом, чтобы он позволял максимально приблизить упругую форму бурильной колонны по уравнению (1) к профилю скважины. Для того чтобы колонна расположилась в профиле, имеющем запроектированную точку разрыва кривизны [2-5], колонна должна оторваться от поверхности в окрестности этой точки. При этом заранее обсчитать все возможные варианты отрыва, выпучивания и посадки колонны — весьма трудоемкая задача. Естественным исправлением указанной ситуации на уровне проекта может служить сглаживание разрывного графика кривизны. Первым приближением к гладкому графику будет служить непрерывная кусочно-линейная кривая (рис. 1-б).

На указанных линейных отрезках кривизна проектируемой кривой представляется линейной функцией от длины дуги. Для подобных кривых существует несколько названий в зависимости от отрасли применения: спираль Корню, радиоидальная спираль, клотоида. Именно эту кривую мы предлагаем положить в основу совершенствования профилей скважин. Ниже приведен математический аппарат, описывающий разработанную нами теорию проектирования профилей скважин.

Однопараметрические уравнения клотоиды имеют вид: (2)

(s — длина дуги).

Входящие в выражения (2) интегралы Френеля не вычисляются в элементарных функциях, но как спецфункции они полностью исследованы, и алгоритмы их вычисления содержатся в общедоступных библиотеках программ.

График клотоиды содержится в первом и третьем квадрантах прямоугольной системы координат, проходит через начало координат и сворачивается в спираль с бесконечным числом витков вокруг точки (1/2 ; 1/2) при s+ и образует аналогичную спираль вокруг точки (-1/2 ; -1/2) при s-.

Кривизна клотоиды (2) вычисляется в явном виде: . (3)

В начале координат кривизна равна 0, что и доказывает сопряженность по кривизне клотоиды с осевой линией. Из формулы (3) видно, что кривизна действительно изменяется линейно с ростом длины дуги.

Рассмотрим более общее уравнение клотоиды, частным случаем которого является натуральное уравнение (3):

p =A/s. (4)

Здесь p — переменный радиус кривизны, A — дополнительный параметр, дающий возможность выбирать положение предельных точек. Применяя стандартные соотношения между углом наклона — касательной к семейству кривых, удовлетворяющих (4), и прямоугольными координатами x и y и имея в виду, что при s=0, x=0, y=0, получим: . (5)

Это и будет выражение для определения угла наклона клотоиды в любой точке с длиной дуги s, которое удобно использовать на практике.

Подставляя значение в подинтегральное выражение для х и у, получим: (6)

Интегралы (6), так же как и (2), не выражаются через элементарные функции, но легко сводятся к табулированным интегралам (2).

Таким образом, можно заменить участки окружностей участками клотоид, устранив разрывность кривизны профиля.

Приведем пример расчета нового профиля скважины с помощью предложенного математического аппарата (рис. 2). Рассматривается трехинтервальный профиль. Ствол скважины разворачивается на 90°. Точка О является точкой забуривания. Кривая ОБ является продолжением начального вертикального участка скважины и удовлетворяет натуральному уравнению, R=15625/S, где R — радиус кривизны кривой, измеренный в точке S, а S — длина дуги кривой ОБ, измеренная от точки О и возрастающая по направлению к точке Б. Длина кривой 156,25 м. Расстояние от точки О до вершины угла поворота ствола В, измеренное по «большой» касательной ВО, равняется 185,6 м. Минимальный радиус кривизны R кривой ОБ достигается только в одной точке Б и равен 100 м. Координаты точки Б в прямоугольной правой системе координат ХОУ — (xk; yk) равны соответственно (147; 39). Координаты точки на кривой ОБ, расположенной на середине дуги ОБ, обозначаются (x0,5; y0,5) и равны (78; 5). Длина отрезка биссектрисы угла ОВО', от точки В до точки Б, равна 55 м. Вся картина поворота ствола на 90° симметрична относительно биссектрисы ВБ. Длина «большой» касательной О'В=ОВ, прямоугольная система координат Х'О'У' оказывается левой, но все характерные значения (xk; yk), (x0,5; y0,5) в силу симметрии совпадают с указанными выше. В точке О', как и в точке О, радиус кривизны криволинейного участка равен бесконечности, а длина дуги О'Б измеряется, начиная с точки О'. В силу этого искривленный участок непрерывно по кривизне сопрягается с прямолинейным горизонтальным стволом скважины.

Обратим внимание, что в данном примере криволинейная часть построена из двух клотоид, а дуги окружности не использованы вообще. Более того, в отличие от профилей в виде дуг окружностей, минимум кривизны достигается всего в одной точке Б. Таким образом, в этом построенном по двум клотоидам простейшем профиле скважины максимальная концентрация напряжений может возникнуть только в одной точке, а не по всей дуге окружности, осуществляющей искривление профиля с постоянным радиусом.

Далее необходимо установить связь между построенным по экспериментально собираемым данным профилем и предложенным выше аналитическим исследованием. Для сформулированной нами цели наиболее близкими оказываются результаты, полученные С.С. Сулакшиным [6]. Существенно, что первые его результаты появились еще в 60-е годы, и они не были опровергнуты в последующем. В статистических обработках экспериментальных данных кривизна d/ds представляется С.С. Сулакшиным как линейная функция от экспериментально замеряемого аргумента — измеренной глубины s. Как указано в [6], линейная часть экспериментально устанавливаемой формулы:

d/ds = a+bs (7)

является основной (главной) частью статистической зависимости кривизны от измеренной глубины.

Для того чтобы управлять траекторией скважины, необходимо установить связь между декартовыми координатами и экспериментально измеряемыми углами, и в первую очередь между зенитным углом и декартовыми координатами.

Большим удобством формулы (7) является ее интегрируемость в элементарных функциях:(s)=(b/2)s2+ as+с.

Используя соотношения dx/ds = cos (s); dy/ds = sin (s), получаем: . (8)

Как видно, статистически полученные из практики параметры a и b приводят к выражениям (8), которые могут быть представлены через те же интегралы Френеля, составляющие параметрические уравнения клотоиды (2), которые были получены нами ранее из чисто теоретических, геометрических соображений. Это демонстрирует особые преимущества использования клотоиды при проектировании профиля скважины по плавной кривой по сравнению с другими кривыми переменной кривизны.

Оперативное управление стволом горизонтальной скважины

Для практических расчетов сжатой бурильной колонны в горизонтальном стволе скважины необходимо определить форму ее изгиба, которая соответствует малому, но конечному смещению бурильной трубы от прямолинейной формы равновесия. Сжимающая сила, соответствующая такой форме равновесия, называется выпучивающей силой [7]. Выпучивающая сила ограничивает интервал значений сжимающих сил, за пределами которого происходит переход к новому состоянию, т.е. потеря устойчивости изогнутой бурильной колонны.

Математическое исследование формы участка отрыва бурильной колонны, расположенной в горизонтальном, прямолинейном стволе скважины, сводится к решению краевой задачи для линеаризованного дифференциального уравнения изгиба упругого стержня под действием сжимающей силы и поперечной нагрузки от собственного веса [3]:

EJ.у (4) + Р.у (2) = -q , (9)

где EJ — жесткость бурильной трубы на изгиб, кН.м2;

q — вес одного метра бурильной трубы, кН/м;

Р — осевая сжимающая сила, кН.

В соответствии с расчетной схемой (рис. 3) граничные условия имеют вид: . (10)

Аналитическое решение уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям (10), может быть записано в виде: . (11)

Для определения длины участка отрыва — 2L получается трансцендентное уравнение: .

С точностью до второго знака из этого уравнения находим: . (12)

Решение (12) содержит парадокс, состоящий в том, что размер области отрыва обратно пропорционален величине проталкивающей силы: чем меньше сила, тем больше зона отрыва, что противоречит здравому смыслу. Из этого следует, что в идеально горизонтальной скважине выпучивания не происходит — чисто геометрического ограничения на длину горизонтальной скважины нет.

Размерная величина для максимальной высоты волны изгиба равна: . (13)

В реальной скважине бурильная колонна может принять форму весьма близкую к найденной выше кривой изгиба отдельного участка отрыва за счет искривления самого ствола скважины. Наличие стенки скважины ограничит разрушительный изгиб, но приведет к «распиранию» бурильной колонны, что, как уже отмечалось, существенно увеличит силы трения. Таким образом, имеем качественную оценку опасных локальных искривлений: если высота этого искривления близка к максимально высокой точке отрыва (уmax), а длина его короче длины участка отрыва (2L), то с такого начального искривления колонна может перескочить к положению, при котором возникает распирающее усилие.

Далее можно перейти к установлению связей между геометрическим параметром искривления колонны k и найденными в элементарных функциях формами изгиба ее.

В плоском случае кривизна в любой точке решения (11) находится по формуле: (14)

и должна быть сопоставлена с представлением кривизны ствола, выраженной через экспериментально измеряемые зенит и азимут. Для этого необходимо получить аналитическое выражение кривизны профиля как пространственной кривой. Как будет показано ниже, то же самое можно сделать и для кручения.

Из системы дифференциальных уравнений, связывающих измеряемые углы: зенит и азимут , с декартовыми координатами x, y, z и с измеренной глубиной s в качестве аргумента [8] в результате последовательного дифференцирования и преобразований находим для кривизны:

k = (d /ds)2+ Sin2 (d /ds)2. (15)

Заметим, что широко применяемый «общий угол искривления» является грубым приближением к кривизне.

Для вычисления кручения t имеем формулу: . (16)

Анализируя выведенные формулы для кривизны и кручения, видим, что для оперативного управления надо располагать выражениями производных зенита и азимута по измеренной глубине. С целью упрощения (15) и (16) полезно научиться измерять скорость изменения азимута по зениту d/d или зенита по азимуту d/d. Для вычисления кручения при этом получится выражение: . (17)

Эта формула привлекательна тем, что, например, если азимут линейно меняется по зениту, первое слагаемое в числителе, содержащее старшую производную, обращается в 0, и вычисления значительно упрощаются.

Важно отметить, что вычисление кривизны и кручения по промысловым измерениям и является типичной некорректной задачей вычислительной математики [9], т.к. по упомянутым данным восстанавливаются не только первые производные ’ и ’, участвующие в вычислении кривизны, но и вторые производные, участвующие в вычислении кручения. Поэтому при попытке вычислить производные и с помощью разностных отношений, при стремлении шага измерительной сетки к нулю, погрешность может неограниченно возрастать, что и обуславливает повышенные требования к обработке данных инклинометрии.

Если кривизна оси ствола скважины приближается к максимальной кривизне на участке выпучивания бурильных труб (14), то возможен резкий изгиб бурильной колонны, приводящий к ее распору в стволе скважины.

Если в процессе бурения кручение, вычисленное с учетом зенитного угла и азимута, возрастает по абсолютной величине и сохраняет знак на протяжении L, то необходимо изменить технологию бурения для предупреждения дальнейшего искривления скважины, поскольку ось ствола уже приобрела на половине длины участка выпучивания пространственный изгиб.

Таким образом, опираясь на измеряемые в процессе бурения геометрические параметры ствола скважины, можно заранее прогнозировать возможные осложнения, связанные с перемещением колонны бурильных труб по скважине и доведения нагрузки до долота, которая существенно уменьшается при появлении зон распора бурильной колонны.

Заметим, что для использования формул, выведенных в этом разделе, необходимо применять процедуру сглаживания экспериментально измеряемых величин.

Сравнительный анализ компоновок низа бурильной колонны для участков стабилизации ствола

В [10, 11, 12, 13] изложены научные обоснования конструирования КНБК, обладающих произвольным запасом статической устойчивости. Достигается названный эффект практической реализацией математического предельного перехода к условиям опирания колонны типа жесткой заделки (ноль смещения, ноль угла поворота поперечного сечения колонны). Указанный предельный переход, называемый далее «стягиванием граничных условий», осуществляется за счет сближения попарно размещенных в КНБК полноразмерных (по диаметру долота) опор шарнирного типа (ноль смещения, непрерывность угла поворота поперечного сечения и изгибающего момента).

В докладе Д.Маклейна («Шлюмберже») [1] демонстрировалось существенное улучшение качества ствола за счет использования системы Power Drive. По нашему мнению, подобная конструкция осуществляет упрощенную схему названного выше стягивания граничных условий. Упрощение состоит в том, что Power Drive содержит меньшее число опор — один калибратор с регулируемым поперечным размером стягивается к долоту. Математически эта проблема формулируется аналогично краевой задаче (10) из [10]:

y(0) = y(2)(0) = 0; y(L) = y(2)(L) = 0;

0

y(s1-0) = y(s1+0) = 0;

y(1)(s1-0) = y(1)(s1+0);

y(2)(s1-0) = y(2)(s1+0). (18)

В (18) осуществляется математический предельный переход, вполне аналогичный предельному переходу в [10]: s1= 0. Записывая условия (18) с помощью формулы общего решения из [10]: , получим неоднородную линейную систему уравнений 8-го порядка относительно коэффициентов сik, k=1,2,3,4; i=1,2. В результате преобразований части уравнений, входящих в (18), устанавливаем возможность явно выразить порядок зависимости от d всех коэффициентов в системе восьми уравнений относительно сik. В результате система (18) оказывается эквивалентной краевой задаче:

y(0) = y(1)(0) = 0; y(L) = y(2)(L) = 0.

Таким образом, в окрестности долота в пределе осуществляется условие жесткой заделки, которое, как показано в [10], наиболее благоприятно воздействует на формирование ствола в процессе бурения, поскольку устраняется один из источников возникновения неуправляемых поперечных колебаний. Легко видеть, что эффективность системы типа Power Drive упадет при отодвигании калибратора по направлению к устью скважины, но в этом случае перенос опорно-центрирующего элемента не способствует осуществлению самой идеи стабилизации колонны. Кроме того, при попытке использовать систему Power Drive в комплексе с гидравлическим двигателем, обладающим заметным реактивным крутящим моментом, одного стягивания калибратора к долоту может не хватить для стабилизации ствола. Именно так мы интерпретируем доклад П. Хлебникова в [1].

Размещая за двигателем по направлению к устью двойное опорно-центрирующее устройство [10], можно существенно расширить диапазон работы компоновок, обеспечивающих одновременно предупреждение искривления и подготовку ствола скважин к спуску обсадных колонн.

Полученные результаты позволяют спроектировать такой профиль скважины, при котором колонна принимает форму ствола наиболее естественным образом.

При этом могут быть разработаны новые специальные виды профилей, у которых кривизна изменяется как по законам клотоид, так и по более сложным закономерностям, оставляющим кривизну непрерывной при ее изменениях.

В результате резко уменьшаются зоны изгибных напряжений в колонне, что обеспечивает уменьшение сил трения, снижает износ колонны и т.д.

Кроме того, облегчается передача осевой нагрузки на забой и управляемость КНБК, что необходимо для попадания в круг допуска скважин с удаленным забоем.

Возможность выразить через экспериментальные данные (зенит, азимут и измеренную глубину) кривизну и кручение образующегося профиля, обеспечить реализацию новых принципов оперативного управления формированием ствола правильной формы и создаст научную основу для разработки соответствующих высокоэффективных опорно-центрирующих устройств и мест их установки в КНБК. В т.ч. для борьбы с самопроизвольным искривлением скважин.

Таким образом, речь идет о создании в краткосрочной перспективе принципиально нового математического и программного обеспечения проектирования строительства многозабойных и радиально-горизонтальных скважин.

ЛИТЕРАТУРА

1. Горизонтальные технологии строительства скважин. Трибуна 5-ой научно-практической конференции «Новые технико-технологические решения в области строительства наклонных и горизонтальных скважин» // «Технологии ТЭК», Москва, 2004 г., №4(17), с. 4-5

2. Поздеев И., Нестерова Т. IT— поддержка проектирования и сопровождения кустового бурения // «Технологии ТЭК», Москва, 2004 г., №5(18), с. 29-34.

3. Гулизаде М.П. «Турбинное бурение наклонных скважин». Азернефтнешр, Баку, 1959 г., 305 стр.

4. Method and Apparatus for Drilling a Well Bore. Edward O. Anders // US Patent No. 4,440,241, Apr. 3, 1984

5. Чан Суан Дао, Ширинзаде С.А. Новые профили наклонно-направленных скважин на месторождениях «Белый Тигр» и «Дракон» // «Азербайджанское нефтяное хозяйство», Баку, 1999, №1.

6. Сулакшин С.С.. Направленное бурение // М. «Недра», 1987, с. 270

7. Феодосьев В.И. Десять лекций-бесед по сопротивлению материалов. Москва, «Наука», 1975, 173 стр.

8. Исаченко В.Х. Инклинометрия скважин. Москва, «Недра», 1987, 215 стр.

9. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы, Москва. «Наука» 1989 г., 430 стр.

10. Барский И.Л. О теоретических положениях динамики и устойчивости бурильной колонны и способах их реализации на практике// «Технологии ТЭК», Москва, 2004 г., №2(15), с. 26-29

11. Барский И.Л., Близнюков В.Ю. Компоновки, обеспечивающие предупреждение искривления и одновременно подготовку ствола скважин к спуску обсадных колонн// Труды ВНИИБТ, вып. 66, 1988, с. 29-39

12. Барский И.Л., «Новые подходы к математическому обеспечению проводки наклонно-направленных скважин», Тезисы докладов IV международного семинара «Горизонтальные скважины, 2004 г., М., РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина, РАЕН.

13. Barsky I.L., Gusman A.M. & Povalikhin A.S., «Development of a method for drilling of Straight sections of Various Type wellbors», Proceedings of ETCE/OMAE, 2000 joint conference. February 14-17, 2000 New Orleans, Lousiana, USA

Found a typo in the text? Select it and press ctrl + enter